㈠ 印度數學家拉瓦魯金是真人真事嗎
印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金確有其人，他自學成才，並在劍橋大學學習的傳奇故事被多次改編成電影，如2015年的《天才無限家》。他出生於1887年的印度泰米爾納德邦的埃羅德，逝世於1920年。拉馬努金對數論有極深的熱愛，尤其在涉及π、質數等數學常數的求和公式以及整數分解方面有著獨到的見解。他以直覺（或稱為數感）導出公式，不喜作證明，但其理論往往被證明是正確的。他留下的未被證明的公式啟發了多位菲爾茲獎得主的工作。1997年，《拉馬努金期刊》創刊，專門發表與拉馬努金影響相關的數學領域研究論文。
拉馬努金於1887年12月22日出生在印度泰米爾納德邦的埃羅德。在1898年時，他進入貢伯戈訥姆一所中學就讀，這是他第一次接觸到正規的數學教育。在11歲時，他已經掌握了寄居在他家的大學生的數學知識。到13歲時，他已經自學了高等三角學的知識。在14歲時，他的天賦開始顯現，不僅在學校獲得榮譽證書和獎學金，還幫助學校處理將1200名學生分配給35位教師的後勤事務。他的測驗成績甚至在規定時間內的一半內完成，顯示出對無窮級數的熟練掌握。然而，他在其他科目無法集中注意力，高中考試不合格，生活也相當貧困，經常處於飢餓狀態。
在印度的成年階段，拉馬努金因為結婚而需要找一份工作。帶著他的數學計算能力，他在孟買（舊稱馬德拉斯）到處找工作。最終，他找到一份工作，並在一位英國人的建議下與劍橋的研究人員聯系。作為清奈總會計師事務所的員工，拉馬努金渴望能夠完全投入到數學研究中，而無需從事其他工作。他向有影響力的人尋求支持，並在印度數學期刊上發表論文，但並未成功獲得經濟支持。在此期間，穆吉吉爵士試圖支持他的事業。
在1913年，拉馬努金向三位劍橋學術界人士貝克、霍布森和哈代發送了一長串復雜的定理。只有哈代注意到了拉馬努金定理中展現的天賦。哈代回復拉馬努金，他的定理讓他和同事利特爾伍德感到驚訝，他們認為沒有任何定理可以放到世界上最高等的數學測試中。哈代稱贊拉馬努金的公式，說只要一看就知道只有一流的數學家才能寫出它們，並斷言它們肯定是真的，因為如果不是這樣，沒有人有足夠的想像力來發明它們。哈代在艾迪胥的一次采訪中稱自己一生中最大的貢獻是發現了拉馬努金，將拉馬努金的天賦能與數學巨匠歐拉和雅可比相提並論。拉馬努金後來成為劍橋大學三一學院的院士，榮獲英國皇家學會會員（FRS）的最高榮譽。
拉馬努金的健康問題困擾了他的一生。由於過度投入研究工作，他的健康在英國急劇惡化。壓力加劇以及第一次世界大戰期間蔬菜的稀缺可能使問題更加嚴重。他被診斷為肺結核和嚴重的維生素不足。在1919年，他返回印度，並於1920年在貢伯戈訥姆去世，留下了拉馬努金θ函數的發現作為對世界的最後禮物。他的妻子賈納姬搬到了孟買，1950年回到孟買生活，直至1994年逝世。賈納姬在結婚時只有9歲，這在當時的印度是很常見的。
拉馬努金一生過著婆羅門的生活。關於他實際信仰的觀點存在分歧：他的印度傳記作者描述他為一個嚴格正統的婆羅門，而哈代（堅定的無神論者）相信他在涉及形而上學的方面基本上是一個不可知論者。哈代報道拉馬努金曾斷言所有宗教一樣正確。卡尼格爾的傳記則認為拉馬努金可能不會向哈代展示他的宗教一面；另一方面，卡尼格爾通常描繪哈代的負面形象。拉馬努金將他的理解歸功於他的家族女神納瑪姬莉，並在他的工作中向她尋求靈感。他常說：「一個方程對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法。」
在數學上，拉馬努金擁有洞察力和提出大量公式的獨特才能，為後人開啟了新的研究方向。他提出了與圓周率相關的一些奇妙無窮級數，例如：
對所有θ都成立，此處Γ(z)代表伽瑪函數。
通過比較恆等式兩邊θ的冪次系數，可以得出雙曲正割的許多恆等式。
哈代評價拉馬努金說：「他知識不足的程度與知識的深厚都讓人驚訝。他是能夠發現模方程和定理的人……達到了前所未聞的地步，他對連分式的掌握……超越了世界上任何一位數學家。他自己發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的許多著名問題中的級數的主要項；但他卻從未聽說過雙周期函數或者柯西定理，對復變函數只有非常模糊的概念……」
拉馬努金的成就包括自己的發現和與哈代合作發展和證明的定理，如高度合成數的性質、整數分割函數和其漸近線、拉馬努金θ函數，以及他在伽瑪函數、模形式、發散級數、超幾何級數和質數理論等領域的重大突破和發現。他的發現異常豐富，許多在日後被發現具有比最初所想更深層次的含義。
雖然拉馬努金提出的許多命題被稱為拉馬努金猜想，但其中有一個特別有影響力，即拉馬努金猜想，它斷定了拉馬努金τ函數的大小。這個猜想在1973年終於被證明，可由皮埃爾·德利涅證明的魏依猜想推論而得，其簡化步驟相當復雜。
拉馬努金在印度時在三本活頁紙筆記本上記錄了許多結果。這些結果被寫下來，但沒有推導。這可能是對拉馬努金無法證明自己的結果而只是直接想到最終結果的誤解的起源。伯恩特在他的筆記和拉馬努金工作的評論中感到，拉馬努金幾乎肯定能夠對他的大部分結果進行證明，只是選擇了不做證明。
這種工作風格可能有幾個原因。當時紙張昂貴，拉馬努金在寫字板上進行了大部分工作，並可能包含了證明，然後將結果轉寫到紙上。在當時的印度，使用寫字板是數學學生常見的做法。他也可能受到卡爾斯的《純數學和應用數學概要》的影響，這是一本總結了數千個結果的書，不提供證明。最後，拉馬努金可能認為他的工作只是為自己的個人興趣使用的，因此只記錄了結果。
拉馬努金是印度過去千年中非常偉大的數學家之一。他的直覺跳躍至今仍讓現代數學家感到困惑，在他去世70多年後，他的論文中隱藏的秘密仍在被挖掘。他的定理被應用到他生前難以想像的領域。他被認為是印度數學的傑出代表，影響了世界數學的發展。
拉馬努金的生平和數學成就至今仍被廣泛研究和討論，他的故事激勵了無數數學愛好者，展示了自學成才的無限可能，以及對數學的熱愛如何激發創新和發現。