㈠ 印度数学家拉瓦鲁金是真人真事吗
印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金确有其人，他自学成才，并在剑桥大学学习的传奇故事被多次改编成电影，如2015年的《天才无限家》。他出生于1887年的印度泰米尔纳德邦的埃罗德，逝世于1920年。拉马努金对数论有极深的热爱，尤其在涉及π、质数等数学常数的求和公式以及整数分解方面有着独到的见解。他以直觉（或称为数感）导出公式，不喜作证明，但其理论往往被证明是正确的。他留下的未被证明的公式启发了多位菲尔兹奖得主的工作。1997年，《拉马努金期刊》创刊，专门发表与拉马努金影响相关的数学领域研究论文。
拉马努金于1887年12月22日出生在印度泰米尔纳德邦的埃罗德。在1898年时，他进入贡伯戈讷姆一所中学就读，这是他第一次接触到正规的数学教育。在11岁时，他已经掌握了寄居在他家的大学生的数学知识。到13岁时，他已经自学了高等三角学的知识。在14岁时，他的天赋开始显现，不仅在学校获得荣誉证书和奖学金，还帮助学校处理将1200名学生分配给35位教师的后勤事务。他的测验成绩甚至在规定时间内的一半内完成，显示出对无穷级数的熟练掌握。然而，他在其他科目无法集中注意力，高中考试不合格，生活也相当贫困，经常处于饥饿状态。
在印度的成年阶段，拉马努金因为结婚而需要找一份工作。带着他的数学计算能力，他在孟买（旧称马德拉斯）到处找工作。最终，他找到一份工作，并在一位英国人的建议下与剑桥的研究人员联系。作为清奈总会计师事务所的员工，拉马努金渴望能够完全投入到数学研究中，而无需从事其他工作。他向有影响力的人寻求支持，并在印度数学期刊上发表论文，但并未成功获得经济支持。在此期间，穆吉吉爵士试图支持他的事业。
在1913年，拉马努金向三位剑桥学术界人士贝克、霍布森和哈代发送了一长串复杂的定理。只有哈代注意到了拉马努金定理中展现的天赋。哈代回复拉马努金，他的定理让他和同事利特尔伍德感到惊讶，他们认为没有任何定理可以放到世界上最高等的数学测试中。哈代称赞拉马努金的公式，说只要一看就知道只有一流的数学家才能写出它们，并断言它们肯定是真的，因为如果不是这样，没有人有足够的想象力来发明它们。哈代在艾迪胥的一次采访中称自己一生中最大的贡献是发现了拉马努金，将拉马努金的天赋能与数学巨匠欧拉和雅可比相提并论。拉马努金后来成为剑桥大学三一学院的院士，荣获英国皇家学会会员（FRS）的最高荣誉。
拉马努金的健康问题困扰了他的一生。由于过度投入研究工作，他的健康在英国急剧恶化。压力加剧以及第一次世界大战期间蔬菜的稀缺可能使问题更加严重。他被诊断为肺结核和严重的维生素不足。在1919年，他返回印度，并于1920年在贡伯戈讷姆去世，留下了拉马努金θ函数的发现作为对世界的最后礼物。他的妻子贾纳姬搬到了孟买，1950年回到孟买生活，直至1994年逝世。贾纳姬在结婚时只有9岁，这在当时的印度是很常见的。
拉马努金一生过着婆罗门的生活。关于他实际信仰的观点存在分歧：他的印度传记作者描述他为一个严格正统的婆罗门，而哈代（坚定的无神论者）相信他在涉及形而上学的方面基本上是一个不可知论者。哈代报道拉马努金曾断言所有宗教一样正确。卡尼格尔的传记则认为拉马努金可能不会向哈代展示他的宗教一面；另一方面，卡尼格尔通常描绘哈代的负面形象。拉马努金将他的理解归功于他的家族女神纳玛姬莉，并在他的工作中向她寻求灵感。他常说：“一个方程对我没有意义，除非它代表了神的一个想法。”
在数学上，拉马努金拥有洞察力和提出大量公式的独特才能，为后人开启了新的研究方向。他提出了与圆周率相关的一些奇妙无穷级数，例如：
对所有θ都成立，此处Γ(z)代表伽玛函数。
通过比较恒等式两边θ的幂次系数，可以得出双曲正割的许多恒等式。
哈代评价拉马努金说：“他知识不足的程度与知识的深厚都让人惊讶。他是能够发现模方程和定理的人……达到了前所未闻的地步，他对连分式的掌握……超越了世界上任何一位数学家。他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的许多著名问题中的级数的主要项；但他却从未听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有非常模糊的概念……”
拉马努金的成就包括自己的发现和与哈代合作发展和证明的定理，如高度合成数的性质、整数分割函数和其渐近线、拉马努金θ函数，以及他在伽玛函数、模形式、发散级数、超几何级数和质数理论等领域的重大突破和发现。他的发现异常丰富，许多在日后被发现具有比最初所想更深层次的含义。
虽然拉马努金提出的许多命题被称为拉马努金猜想，但其中有一个特别有影响力，即拉马努金猜想，它断定了拉马努金τ函数的大小。这个猜想在1973年终于被证明，可由皮埃尔·德利涅证明的魏依猜想推论而得，其简化步骤相当复杂。
拉马努金在印度时在三本活页纸笔记本上记录了许多结果。这些结果被写下来，但没有推导。这可能是对拉马努金无法证明自己的结果而只是直接想到最终结果的误解的起源。伯恩特在他的笔记和拉马努金工作的评论中感到，拉马努金几乎肯定能够对他的大部分结果进行证明，只是选择了不做证明。
这种工作风格可能有几个原因。当时纸张昂贵，拉马努金在写字板上进行了大部分工作，并可能包含了证明，然后将结果转写到纸上。在当时的印度，使用写字板是数学学生常见的做法。他也可能受到卡尔斯的《纯数学和应用数学概要》的影响，这是一本总结了数千个结果的书，不提供证明。最后，拉马努金可能认为他的工作只是为自己的个人兴趣使用的，因此只记录了结果。
拉马努金是印度过去千年中非常伟大的数学家之一。他的直觉跳跃至今仍让现代数学家感到困惑，在他去世70多年后，他的论文中隐藏的秘密仍在被挖掘。他的定理被应用到他生前难以想象的领域。他被认为是印度数学的杰出代表，影响了世界数学的发展。
拉马努金的生平和数学成就至今仍被广泛研究和讨论，他的故事激励了无数数学爱好者，展示了自学成才的无限可能，以及对数学的热爱如何激发创新和发现。